「Dick was a sailor on a big ship.」という文章がありました。「大きな船の船員だった」の意味ですから「Dick was a sailor of a big ship.」ではダメでしょうか

ダメです。

「of」は「・・・の」の訳語が当てはまることが多いですが、「A of B」の意味は「AがBから出ると同時にBに帰属して」ですから「Bの一部としてのA」のイメージとなります。

上記の例文の場合「sailor」は「a big ship」の一部ではありませんので「of」は使えません。「sailor」と「a big ship」の関係は「sailor」が「a big ship」に「接して」いるイメージですので「on」が選択されることになります。この文の続きは「Dick was often on the ship for several months at a time.」で、船員としてその船に乗り込んで働いている状況が「on」で生き生きと描かれています。

「船の底」ならば「底」は「船」の一部ですから「the bottom of a ship」となります。