(10)He looked up and saw the bee fly into a hole.
「look」は(2)で解説済み。「see」は「重要な動詞の使い方」の中で解説してありますのでご参照下さい。

「fly」は12世紀以前に使われた語(古期英語)を語源とし、当初から「飛ぶ」のイメージでした。多分、鳥が飛ぶ様を表そうとしたのが始まりでしょう。現在では「(鳥・飛行機などが)飛ぶ」「飛ぶように走る」「急に広く伝わる」という場面で使えます。
We see many geese fly towards the North.
Thank you for flying with ABC Airlines. (ABC航空をご利用いただきありがとうございます)
fly economy (class):エコノミークラスで飛ぶ
Time flies.(光陰矢の如し)
Rumors are flying.(噂が広まっている)

(11)“I don’t suppose the bees would mind if I borrowed a little honey,” said Pooh as he began to climb the tree.
「suppose」は「think」とほぼ同じに使えますので我々が使う場合には「think」を使えばよいと思います(ニュアンス的には「suppose」の方が意味は軽いです)。
I don’t suppose (that) she’ll come. = I don’t think (that) she’ll come.
「suppose」は「if」の代わりに使われることがあります。Suppose it starts raining, what’ll we do?

「mind」は日本語で「マインド・コントロール」というように、「知性と結びついた心;精神」を意味します。動詞の意味は「精神を外に向ける」→「に注意する」「に気をつける」「を気にする」「をいやだと思う」のような日本語が対応します。
Mind your table manners.(に注意する)
Mind your head; the doorway is low. (に気をつける)
I don’t mind if we stay longer. (を気にする)
Do you mind this cold weather? (をいやだと思う)
Would you mind if …? (・・・してもいいでしょうか)→答え方は日本語の「はい」「いいえ」と逆になります。
If you don’t mind, (もし、あなたが嫌でなければ)

「borrow」は「(無料で)(移動可能なもの)を借りる」の意。有料の場合は「rent」。「(移動不能な)トイレ・電話を借りる」場合は「use」(「使う」イメージ)。
He borrowed 1.000 yen from me. (I lent him 1.000 yen.)
「くまのプーさん」の例文では「・・・を無断で借りる(steal の婉曲語)」の意で使われており、プーさんは決して返す気はありません。

「say」は「重要な動詞の使い方」の中で解説してありますのでご参照下さい。

「begin」は「始める」「始まる」の意。「start」でも同じ(startの方が口語的)。
begin a new business:新しい商売を始める
She began to run / running.
School begins on September 1.

「climb」は「(手足を使って)よじ登る」の意。
climb the ladder:はしごを登る
climb down from the roof:屋根から降りる
服・くつを苦労して着る・履く:climb into … (climb into a pair of boots)
東京タワーに上る:go up Tokyo Tower(手足は使わない)

(12)As Pooh leaned closer to the hole, the little branch he was clinging to began to bend.
「lean」は「(建物などが)傾く」「上体を曲げる」「(に)寄りかかる(against/on/upon)」
The tower is leaning slightly.
He leaned forward to hear what she said.(bent)
He leaned against the tree.(rested)

「cling」は「しがみつく」「執着する」の意。
The wet shirt clung to my shirt.(ぴったりくっついた)
The child clung to its father’s arm in fear.
権力(地位)にしがみつく:cling to power (a position)

「begin」は解説済み。

「bend」は「曲げる」「曲がる」「かがむ」の意。
bend am iron rod into a hoop
bend one’s elbow
The road bends to the left.
She bent down to pick up a coin on the floor.