「over」は「孤を描くように、ある対象物を越えて」が基本のイメージです。前置詞としてもイメージの「広がり」が相当にありますので、次の例文でその感触をつかんで下さい。

次は「・・・の上に置かれて、その全部または一部を覆っている」イメージ。
She put a blanket over the sleeping child.(彼女は眠っている子供に毛布をかけた)⇒「on」ならば「接触」のみが意識されるので「眠っている子供の上に毛布を置いた」イメージになります。
He wore an overcoat over his suits.(彼は上着の上にオーバーを着ていた)
She put her hand over her mouth to stop herself from screaming.(彼女は叫ばないように口に手をあてた)

次は「・・・の上方に」のイメージです。
They held a large umbrella over her.(彼らは彼女に大きな傘をさした)
The balcony juts out over the street.(バルコニーは通りの上に突き出している)
There was a lamp hanging over the table.(テーブルの上にランプが垂れ下がっていた)

次は「・・・の片側から反対側まで」のイメージです。その意味では「across」の一部の使い方と同じです。
a bridge over the river(川にかかった橋)
They ran over the grass.(彼らは芝生の端から端まで走った)
They had a wonderful view over the park.(公園の端から端まで素晴らしい眺めだった)
They’re walking over the bridge.(彼らは橋を歩いて渡っている)

「・・・の遠く向こうに」のイメージで使われることもあります。
He lives over the road.(彼はずーと道を行ったところに住んでいる)⇒「道が続く方向にずーと越えて行く」イメージです。文脈によっては「・・・の反対側に(ある)」という日本語が対応します。

次は「・・・を乗り越えて向こう側に」のイメージ。
She climbed over the wall.(彼は壁をよじ登って向こう側へ行った)

次は「・・・から下に」のイメージ。
The car had toppled over the cliff.(その車は崖から下にずり落ちていた)
He didn’t dare (to) look over the edge.(彼は端から下を覗き込もうとはしなかった)

次は「・・・の至る所に」のイメージ。
Snow is falling all over the country.(国中雪が降っている)
They’ve travelled all over the world.(彼らは世界中を旅行した)
There were papers lying around all over the place.(至る所に書類が散らばっていた)

前置詞「over」は「場所」だけではなく「時間」「量・数」「価格」などが「・・・を越えて」のイメージになる場合にも使えます。
He’s over 80 kilos now.(彼の体重は今は80キロを越えている)
I just can’t believe your grandmother is over 70. (君のおばあちゃんが70歳すぎなんてとても信じられない)

次は「over」の「弧を描くように」のイメージが前面に出て「(話題を行き来しながら)・・・を巡って」とか「(何かをはさんで)・・・しながら」「(何かの上を行き来して)・・・を手段に」「(ある期間)に亘って」のイメージで使われるケースです。
Those two are always quarreling over money. (あの2人はしょちゅうお金のことでけんかをしている)
“I have a business proposition for you.” “Let’s talk about it over a cup of coffee.”(「君にいい仕事の話があるんだ」「コーヒーでも飲みながら話そうよ」)
I talked to her over the phone.(彼女と電話で話した)
I’ll stay here over Christmas.(クリスマスの間じゅうはここにいる)

次のような使い方もあります。
30 over 60 (30÷60)→「30÷60」は、上に30を書いて、その下に横棒、更にその下に60と書きますが、その形からだと思います。