「under」は「・・・の下に・へ」が基本的なイメージです。場合によっては「・・・の下を通って(through)」のイメージになることもあります。

次は「・・・」の部分に具体的な「場所」を表す語句が来た場合です。
Have you looked under the bed? (ベッドの下に視線を向けたか→ベッドの下を見ましたか)
She placed the ladder under the window.(彼女ははしごを窓の下に掛けた)
The dog squeezed under the gate and ran into the road.(その犬は門の下を身をよじって通り抜け道路の中へ走りでた)
a village under the hill(丘のふもとにある村)
offer money under the table(わいろを渡す)

次は上記のイメージの延長線上で「・・・の下位分類に」のイメージになります。
It’s not under ‘sports’, try looking under ‘games’. (それは「スポーツ」欄にはありません。「ゲーム」欄を探してみて下さい)

次は「・・・」の部分に「水」「土地」「道路」「おおい包むもの」等が来る場合で、「・・・の表面の下に」のイメージになります。
The boat lay under several feet of water.(そのボートは水面から数フィート下に横たわっていた)
under the ground(地下に、地中に)
under the skin(皮下に)
Wear a sweater under your coat.(上着の下にセーターを着なさい)
The subway runs under the street. (地下鉄はこの通りの下を走っている)

次は「・・・」の部分に「数」をイメージさせる語句が来る場合で「・・・未満」のイメージになります。「数」が数字のある場所を表していて、その数のある場所から下に、と考えることもできます。日本語では「・・・未満」が対応します。
an annual income of under $10,000.(年収1万ドル未満)
It took us under an hour.(1時間未満かかった→1時間かからなかった)
Nobody under 18 is allowed to buy alcohol.(18歳未満は酒類を買うのが許されていない)

次は「・・・」の部分に「人」「階級」「法」等をイメージさせる語句が来る場合で「・・・の支配下に」のイメージになります。「人」「階級」「法」が立ち位置を表していると考えることもできます。日本語でも「部下」「戒厳令下」等の「下」と同じイメージです。
The country is now under martial law. (国は戒厳令下にある)
The coinage was reformed under Elizabeth I. (貨幣制度はエリザベス1世下に改められた→エリザベス1世の時に)
She has a staff of 19 working under her.(彼女は彼女の下で働いている19人のスタッフを持っている→彼女には部下が19人いる)
Under its new conductor, the orchestra has established an international reputation.(今の新しい指揮者の下、そのオーケストラは世界的な評価を獲得している)

次は「・・・」の部分に「契約」「法」「システム」等をイメージさせる語句が来る場合で「・・・を根拠にして」のイメージになります。「契約」「法」「システム」の下に位置するということで「・・・により」のような日本語が対応します。「契約」「法」「システム」等は人々を縛りますので「目上の者」という考え方でしょう。
Six suspects are being held under the Prevention of Terrorism Act.(テロ防止法の下で6人の容疑者が拘束されている→テロ防止法により6人の容疑者が拘束されている)
Under the terms of the lease you had no right to sublet the property.(リース条項の下ではあなたには又貸しの権利はなかった→リース条項によりあなたには又貸しの権利はなかった)

次は「・・・の影響下で」のイメージになります。
The wall collapsed under the strain.(その壁は重圧で崩壊した)
I’ve been feeling under stress lately. (最近ストレスを感じている)
I’m under no illusions about what hard work this will be. (私はこれがどんなに大変かについて全く幻想は持っていない)
You’ll be under anaesthetic, so you won’t feel a thing.(麻酔をかけますので、何も感じないでしょう)

次は「・・・」の部分に「建設(作業)」「調査(作業)」「検討(作業)」等ある程度の時間を要する語句が来る場合で「・・・中で(in the course of)」のイメージになります。「in」ではなくて「under」が使われるのは、前の例のイメージの延長で「作業」の影響下に置かれているということでしょう。
The hotel is still under construction.(そのホテルはまだ建設中です)
The matter is under investigation.(その件は調査中です)
under consideration (検討中で)
「in consideration of …(・・・を考慮して)」という表現がありますが、これは「作業」の影響下に置かれているイメージではなく「・・・を考慮した世界の中で」のイメージです。

次は「・・・の名前で」の意になります。これも上記2つのイメージの延長線上にあります。
She also writes under the pseudonym of Barbara Vine.(彼女はバーバラ・バインのペンネームでも書いています)