文字通りの意味は「生きている そして 蹴っている」ですが、魚やさんが魚の新鮮さを表現したのが始まりのようですので「生きている そして 体をばたつかせている」イメージです。

英辞郎の解説:
〔人が〕元気はつらつとして、元気旺盛で、絶好調で、ピンピンして、健在で
・The once-retired actor again found his career alive and kicking. : 一度引退した俳優は、自分の役者人生が復活したと思った。
・The baby was born alive and kicking. : その赤ちゃんはとても元気に生まれた。
・Alive and kicking. : 元気[絶好調]だよ。/ピンピンしてるよ。◆【用法】How's life? ; How's it going? ; How are you? など、howで始まる挨拶に対する返答

The New Oxfordの解説:
prevalent(行き亘って) and very active : bigotry(頑固さ) is still alive and kicking

Five Reasons the Magic of the FA Cup Is Alive and Kicking(見出し)
the secret police may still be alive and kicking(使用例)

「alive and kicking」は人のみならず仕組みや制度についても使えるようです。

「alive and well」も同じような使い方ができるようですが、こちらの方は「(噂に反して)元気で」の場面で使われることもあるようです。I was glad to hear you’re alive and well.

著者の年になると「お元気ですか?」とよく聞かれます。今年は「I’m alive and kicking.」を使ってみたいものです。