日本語の「・・・の」に対応する英語は「of」だけではありません。状況に応じて適当な表現が求められます。

「20ドルの小切手」を「a check of $ 20」と書いたら一瞬「?」となるでしょう。というのは、「A of B」の基本的なイメージは「AはBから出て、且つBに帰属して」だからです。即ちAとBは密接な関係が連想されるのです。例えば「テーブルの脚」という場合、「脚」は「テーブル」の1部をなし、密接な関係がありますので「the legs of a table」で表現出来ます。「彼はガンで死んだ」という場合も、「ガン」は「死んだ」原因で「ガン」と「死んだ」の間には密接な関係がありますので「He died of cancer.」で表現できます。

ところが、「a check」と「$ 20」との間には密接な関係は連想されません。一瞬「?」となる背景です。

もし「a $ 20 check」ならば「20ドル小切手」のイメージで「お札」や「切手」のイメージになるでしょう。

しかし「20ドル小切手」というものは銀行や郵便局に行っても手に入るものではありません。「20ドルの小切手」というのは、それを持って銀行に行けば20ドルと交換してくれる有価証券の1つです。ですから「20ドルの小切手」は「交換」のイメージをもつ前置詞「for」を使って「a check for $20」が正しい表現となります。

次も同じ使い方です。
exchange yen for dollars (円をドルに交換する)
The English word for “asagao” is “morning glory.” (「アサガオ」に対する英語は「morning glory」です)
give blow for blow (なぐったらなぐりかえす)
reward him for his services (彼の仕事に対して報酬を与える)
We sold our car for $1,000. (自動車を1000ドルと引き換えに売った)。at だと「1000ドルの値段で」のイメージになります。
Copies are available for two dollars each.(1枚2ドルでコピーできます)
I’ll swap these two bottles for that one.(あのビンくれるならこの2本のビンをあげてもいいよ)